13. Ähnlichkeit

Abb. 1: Die Bilder des Lehrers Lämpel sind einander ähnlich.

Definition der Ähnlichkeit:

Zwei Gebilde A und A' werden einander ähnlich genannt, wenn allen Punkten von A entsprechende Punkte auf A' so zugeordnet werden können, dass A und A' in entsprechenden Winkeln und entsprechenden Seitenverhältnissen übereinstimmen. Es muss dabei gleichgültig sein, welches der beiden Objekte mit A bzw. mit A' bezeichnet wird. Ähnliche Objekte können durch zentrische Streckung S(Z; m)  in kongruente Gebilde verwandelt werden.

Abb. 2 

Ähnlichkeitssätze

Wenn zwei Dreiecke auf Ähnlichkeit zu prüfen sind, dann  müssen  nicht alle  Winkel und Seiten gemessen werden, denn Dreiecke sind schon ähnlich, wenn sie

1. in zwei entsprechenden Seitenverhältnissen  oder

2. in einem Seitenverhältnis und dem Zwischenwinkel oder

3. in einem Seitenverhältnis und dem Gegenwinkel zur größeren Seite oder

4. in zwei Winkeln übereinstimmen.

Wenn eine der unter 1. bis 4. genannten  Bedingungen erfüllt ist, dann kann eines der beiden Dreiecke zentrisch so gestreckt werden, dass es zu dem anderen Dreieck kongruent ist. Damit ist ein Beweis der Aussagen von 1-4 gegeben.

Anwendungsbeispiel für die Ähnlichkeitssätze:

Herleitung des Höhensatzes

Abb. 3

Die Teildreiecke  ΔADC und ΔCDB sind einander ähnlich, denn sie haben beide je einen rechten Winkel und es gilt: α = ε; δ = β.

Das Dreieck ΔCDB kann durch zentrische Streckung mit einem Streckungsfaktor m auf ein Dreieck abgebildet werden, welches dem Dreieck  ΔADC kongruent ist.

In ähnliche Dreiecken sind die Verhältnisse entsprechender Seiten gleich.

h/p = m; q/h = m      →      h/p = q/h      →      h² = p· q

Konstruktion mit zentrischer Streckung

Aufgabe:

Beschreibe einem Quadrat ABCD   ein   gleichseitiges   Dreieck PQR so ein, dass P auf [AB] und Q auf [AD] liegt, wobei gelten soll:

Abb. 4

Zunächst wird ein ähnliches kleineres Dreieck mit der Eigenschaft:

konstruiert.  Anschließend  wird  dieses Dreieck am   Punkt A   zentrisch so gestreckt, dass auch der dritte Eckpunkt des Dreiecks auf eine Quadratseite fällt. 

Nach Anklicken dieser Zeile wird die Konstruktion vorgeführt.