11. Quadratische Ungleichungen und Wurzelgleichungen

1. Quadratische Ungleichungen

Aufgaben:

1. Bestimme die Lösungsmenge von x² - 6·x - 8 > 0 !

x² - 6·x - 8 > 0     ↔     x² - 6·x  > 8

Beiderseits wird die quadratische Ergänzung (- 6/2)² = 9 angefügt.

x² - 6·x  > 8     ↔     x² - 6·x  + 9  > 17    ↔     (x - 3)² > 17     ↔       |x-3| >√(17)

Wir denken uns eine Zahlengerade.  |x-3| beschreibt den Abstand der Zahl x von der Zahl 3. Alle Zahlen, deren Abstände zu 3 größer als √(17) sind, erfüllen die Ungleichung.

Abb. 1

Die Lösungsmenge besteht aus allen reellen Zahlen, die außerhalb des Bereichs [ 3 - √(17); 3 + √(17) ] liegen.

→    L = {R\ [ 3 - √(17); 3 + √(17)] }

Ein Bild über die Lösungsmenge gewinnt man schnell mit der graphischen Darstellung der Funktion   y = x² -6·x – 8. Alle x, denen ein y ≤ 0 zugeordnet wird, gehören nicht zur Lösungsmenge (siehe Abb. 2).

Abb. 2

2. Bestimme die Lösungsmenge von x² + 6·x – 8 > 0 !

x² + 6·x  > 8     ↔     x² + 6·x  + 9  > 17     ↔     (x + 3)² > 17     ↔     |x+3| > √(17) →      |x – (-3)| >√(17)

|x – (-3)| beschreibt den Abstand der Zahl x von – 3 ( Zahlengerade).

Abb . 3

→    L = {R\[ -3 - √(17); - 3 + √(17)] }

3. Bestimme die Lösungsmenge von x² + 6·x – 8 < 0 !

x² + 6·x  < 8  ↔  x² + 6·x  + 9  < 17  ↔  (x + 3)² < 17   ↔    |x+3| < √(17)   ↔        |x – (-3)| < √(17)

→      L = ] –3 - √(17); -3 + √(17)[

Die nach außen gerichteten Klammern zeigen an, dass die Ränder –3 - √(17) und -3 + √(17) nicht zur Lösungsmenge gehören. Dies wäre anders im Fall „≤“.

2. Wurzelgleichungen

Aufgabe:

Löse folgende Gleichung:

Beide Seiten der Gleichung werden quadriert.

4· x² + x - 2  =  4 · x² – 4 · x + 1       ↔       5 · x – 3 = 0

x = 3/5  → L = {3/5}

Zur Lösung einer Wurzelgleichung  wird durch beiderseitige Quadratur eine quadratische oder lineare Gleichung angestrebt.

Abb.4

In Abb. 4 ist der graphische Lösungsweg angedeutet. In dem rot markierten Bereich ist die Wurzel nicht definiert, der Radikand ist dort negativ.