Umkehrung des Strahlensatzes

Wird in einem Satz die Bedingung mit der Behauptung vertauscht, dann erhält man einen Kehrsatz.

Wir betrachten den Teil II des Strahlensatzes.

Bedingung: Die beiden Geraden, welche die Geradenkreuzung schneiden, sind parallel.

Behauptung: Die Abstände auf der einen Kreuzungsgeraden verhalten sich wie die entsprechenden Abstände auf der anderen Kreuzungsgeraden.

Kehrsatz

Bedingung: Die Abstände auf der einen Kreuzungsgeraden verhalten sich wie die entsprechenden Abstände auf der anderen Kreuzungsgeraden.

Behauptung: Die beiden Geraden, welche die Geradenkreuzung schneiden, sind parallel.

In Wenn-dann-Form lautet der Kehrsatz:

Wenn zwei Geraden a und c eine Geradenkreuzung so schneiden, dass  sich die Abstände auf der einen Kreuzungsgeraden so verhalten wie die entsprechenden Abstände auf der anderen Kreuzungsgeraden, dann sind die Geraden parallel.

Der Beweis des Kehrsatzes wird indirekt geführt. Es wird angenommen, dass der Kehrsatz nicht gilt.  Anschließend wird gezeigt, dass die Folgerungen hieraus zu Widersprüchen führen.

Abb. 1

Wir nehmen an, dass bei der Gültigkeit von f/e = d/b die Gerade  c nicht parallel zur Geraden  a verläuft . Durch den Punkt P zeichnen wir eine Gerade g parallel zu a. Nach dem Strahlensatz können wir schreiben: f/e = d’/ b

f/e = d’/ b;  f/e = d/b     →     d’/ b  = d/b      →      d’ = d

d’ = d  zeigt an, dass c auf g liegt und somit entgegen der obigen Annahme zu a parallel ist.