1.6  Näherungsweise Beschreibung einer Exponentialfunktion durch ein Polynom

Potenzen mit nicht ganzzahligen Exponenten sind nur schwer zu berechnen (Iteration). Deshalb wird eine leicht berechenbare Funktion gewünscht, die zur näherungsweisen  Beschreibung einer  Exponentialfunktion geeignet ist. 

Polynomfunktionen kommen in Frage. Unter einem Polynom versteht man einen Term der Form:  a0 + a1 · x + a2 · x2 + a3 · x3 + ........................ Unter Berücksichtigung von a0 = a0 · x0  kann man sagen, ein Polynom P(x) ist eine Summe aus Produkten  an · xn.

Beispiele: P(x) = 2 + 0 · x + x2  ;  P(x) = 1 + 4 · x + 2 · x2 + 3 · x3

Der höchste Exponent in den Podukten an · xn ( an 0 ) heißt Grad des Polynoms.

Es gilt:

Zu  n Punkten mit verschiedenen x-Werten, die nicht alle auf der gleichen Höhe liegen, kann man immer ein  und nur ein Polynom  (n-1). Grades bestimmen, dessen Graph durch diese n Punkte hindurchläuft. Wählt man die Punkte auf dem Graph einer Exponentialfunktion aus, dann erhält  man ein Polynom, dessen Graph sich  gut dem Graphen der Exponentialfunktion anpasst.

Zur Überprüfung dieser Behauptung wird nach der Eingabe von „36“ die Taste „START“ angeklickt.

Es erscheint das Rechenfenster von Mathe.-Physik mit dem Funktionsterm  f(x) = 2^x  ( 2x ) . Nach Darstellung des zu f(x) = 2^x  gehörenden Graphen wird unter    „Mathe.(Hauptmenü)“   der Menüpunkt    „Polynome“  ausgewählt. Daraufhin sind 6 Punkte, auf  dem  Graphen (siehe Abb. 1)  anzuklicken. Die Auswahl der Punkte wird mit einem Rechtsklick abgeschlossen. Nach Vorgabe eines Zeichenintervalls wird  der Graph zu einem Polynom 5. Grades durch die ausgewählten 6 Punkte gezeichnet. Zur Festlegung des Zeichenintervalls dient eine bewegliche senkrechte Strecke, die man zunächst zur linken und dann zur rechten Intervallgrenze führt, wobei die Intervallgrenze jeweils mit einem Linksklick dem Rechner mitgeteilt wird.

Der zugehörende  Term erscheint im Rechenfenster,  wenn man  unter   „Mathe.“   der Menüpunkt  

Funktionsterm - 3. Term zum   Polynom“  anklickt.

In Abb. 1 ist der Graph  von f(x) = 2x  (schwarz) zusammen mit dem Graphen eines Polynoms 5. Grades (rot) zu sehen. Für den Polynomgraph wurden die mit kleinen Kreisscheiben markierten Punkte ausgewählt. Der Polynomgraph weicht erst bei x-Werten < - 2  von dem Graphen der Exponentialfunktion sichtbar ab.

Abb. 1

Polynom 5. Grades:  P(x) = 1.00878+0.67916*x^1+0.24029*x^2+0.05532*x^3+0.00955*x^4+0.00205*x^5 ≈   2x



Wie kann das Poynom 5. Grades berechnet werden ?

y = a0 + a1· x + a2 · x2 + a3 · x3 + a4 · x4 + a5 · x5

Der Graph dieses Polynoms soll durch die folgenden Punkte auf dem Graph zu y = 2x laufen:

P(-2;1/4),  P(-1;1/2),  P(0;1),  P(1;2),  P(2;4),  P(3; 8)

Es gilt:

0,25 = a0 + a1· (-2) + a2 · 4 + a3 · (-8) + a4 · 16 + a5 · (-32)

0,5   = a0   + a1· (-1) + a2 · 1 + a3 · (-1) + a4 · 1   + a5 · (-1)

1       = a0 +   a1· 0   +   a2 · 0  + a3 · 0 +    a4 · 0   + a5 · 0

2       = a0 +  a1· 1   +   a2 · 1 +  a3 · 1  +   a4 · 1 +   a5 · 1

4       = a0 +  a1· 2   +   a2 · 4 +  a3 · 8   + a4 · 16  +   a5 · 32

8       = a0 +   a1· 3 +   a2 · 9 +   a3 · 27  + a4 · 81 + a5 · 243

 

Es handelt sich um 6 Gleichungen mit den 6 Unbekannten a0a5.

1· a0

1· a0

1· a0

1· a0

1· a0

1· a0

+ (-2)· a1

+ (-1)· a1

+ 0 · a1

+ 1 · a1

+ 2 · a1

+ 3 · a1

+ 4  ·a2

+ 1 · a2

+ 0 · a2

+ 1 · a2

+ 4 · a2

+ 9 · a2

+ (-8) · a3

+ (-1) · a3

+ 0 · a3

+ 1· a3

+ 8 ·a3

+  27 ·a3

+ 16 · a4

+ 1 ·a4

+ 0 · a4

+ 1 · a4

+  16 · a4

+ 81 · a4

+ (-32) · a5

+ (-1) ·a5

+ 0 · a5

+ 1 · a5

+ 32 ·a5

+ 243 · a5

+ (-0,25)

= 0

+ (-0,5)

= 0

+ (-1)

= 0

+ (-2)

= 0

+ (-4)

= 0

+ (-8)

= 0

 

Wir schreiben für a0 , a1 ... die Variablen  x (1); x(2)...

  x(1) = a0;    x(2) = a1;   x(3) = a2;   x(4) = a3;   x(5) = a4;   x(6) = a5

Zur Berechnung von x(1) – x(6) wird in „Mathe.-Physik“ der Menüpunkt „Mathe.- Lineare Gleichungen“ ausgewählt. Nach dem Eintrag der zu  x(1) – x(5) gehörenden Faktoren und der  Summanden vor dem Gleichheitszeichen wird „Start“ angeklickt. Die Lösungen werden im Rechenfenster angezeigt

x(1) = 1;    x(2) = 0,69583;   x(3) = 0,23958;   x(4) = 0,05208;   x(5) = 0,01041;   x(6) = 0,00208

Nach Eingabe von „36“ und „START“  kann geprüft  werden,   wie  gut  ein Polynom mit den für ao bis a5 errechneten Werten die Exponentialfunktion beschreibt.

Im Rechenfenster steht   „f(x) =1 + 0,69583*x  +0,23958*x^2 + 0,05208*x^3 +0,01041*x^4 + 0,00208*x^5“  unter    „f(x) = 2^x“.

Wie bestimmt der Rechner die Lösungen eines  Systems aus linearen Gleichungen ?“

Das Lösungsverfahren soll nun an einen  System aus drei Gleichungen erläutert werden.

2 · x

-1 · x

4 · x

+ 3 ·y

+ 1·y

-1 · y

+ 4 · z

+ 2 · z

-3 · z

-2

-3

+1

= 0

= 0

= 0



Die 1. Zeile wird nach Multiplikation mit –1/2 von der 2. Zeile und dann nach Multiplikation mit 4/2 von der 3. Zeile subtrahiert.

2 · x

0

0

+ 3 ·y

+ 2,5 ·y

-7 · y

+ 4 · z

+ 4 · z

-11 · z

-2

-4

+5

= 0

= 0

= 0

 

Die 2. Zeile wird nach Multiplikation mit 3/2,5 von der 1. Zeile und dann nach Multiplikation mit –7/2,5 von der 3. Zeile subtrahiert.

2 · x

0

0

+ 0

+ 2,5 ·y

+ 0

- 0,8 · z

+ 4 · z

+ 0,2 · z

+2,8

-4

-6,2

= 0

= 0

= 0



Die 3. Zeile wird nach Multiplikation mit –0,8/0,2 von der 1. Zeile und dann nach Multiplikation mit 4/0,2 von der 2. Zeile subtrahiert.

2 · x

0

0

+ 0

+ 2,5 ·y

+ 0

+ 0

+ 0

+ 0,2 · z

-22

+120

-6,2

= 0

= 0

= 0

x = 11

y = -48

z = 31

 

Das Gleichungssystem kann mit dem hier beschriebenen Verfahren im Tabellenfenster von „Mathe.-Physik“ gelöst werden. Wie hierbei vorzugehen ist, erfährt man nach Anklicken von: Lösung eines Systems linearer Gleichungen.

 

Nach Eingabe von „38“ und „START“ kann die Arbeit mit dem Gleichungssystem im Tabellenfenster  beginnen.



Herleitung eines Näherungspolynoms

Als Voraussetzung zur Herleitung eines  für eine Exponentialfunktion passenden Näherungspolynoms kann die für eine Exponentialfunktion gültige Regel      bx · bx = b(x + x)   dienen. Wir gehen davon aus, dass b so gewählt werden kann, dass in dem zu bx gehörenden Näherungspolynom   x1 = x den Beiwert 1 hat, und dass eine beliebig gute Annäherung an bx durch Anhängen weiterer Glieder a4 · x4 + a5 · x5 + ... erreicht werden kann.

bx = 1 + x + a2 · x2 + a3 · x3 .....

Die  Koeffizienten  des Polynoms  sind  durch  die  oben genannte Bedingung festgelegt.

bx · bx =  (1 + x + a2 · x2 + a3 · x3 ....) · (1 + x + a2 · x2 + a3 · x3 ....) =

1 + x + x  + a2 · x2  + x2  + a2 · x2 + a2· x3 + a2 · x3 + a3 · x3 + a3 · x3 ...... =

1 + (x + x) + (2·a2 + 1)/4 · (x + x)2 + (2·a3+2·a2)/8 · (x + x)3 ................

bx · bx = b(x + x) = 1 + (x + x) + (2·a2 + 1)/4 · (x + x)2 + (2·a3+2·a2)/8 · (x + x)3 ................

Nach den Voraussetzungen kann für b(x + x) auch geschrieben werden :

b(x + x)       =  1 + (x + x) +        a2       ·   (x + x)2 +        a3         ·   (x + x)3 .........

Ein Koeffizientenvergleich liefert:

(2 · a2 + 1)/4 = a2     →      a2 = ½

(2 · a3 + 2 · a2)/8 = (2 · a3 + 1)/8 = a3   →    a3 = 1/6

Bei einer Fortsetzung dieses Verfahrens findet man: a4 = 1/24,       a5 = 1/120 ......

Hierbei fällt auf : an = 1/n! ;   n! = 1 · 2 · 3 · 4 ........... · n    (Sprechweise: n Fakultät)

Beispiele: 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24;       5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120

f(1) = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! ................+1/n!   strebt mit wachsendem n gegen die Zahl   e = 2,718....

Unter Berücksichtigung von f(1) ≈ b1 = b kann der Schluss gezogen werden:

 f(x) = 1 + x + 1/2! · x2 + 1/3! · x3 ... beschreibt die Exponentialfunktion  y = ex.

Nach Eingabe von „39“ und  „START“ kann dies geprüft werden.