Aufgaben

1. Gegeben sind die Funktionen 1.) y = x² + 3·x + 1 und     2.) y = - 0,5·x² + 4

Bestimme  die  Schnittpunkte der zugehörenden Graphen und den Scheitelpunkt  S   der Parabel zu y = x² + 3·x + 1  !

Abb. 1

2.  Gegeben   sind die Funktionen    1.) y = x² + 3·x + 1 und   2.) y = 0,5·x+4

Bestimme die x-Werte zu den Schnittpunkten der Funktionsgraphen !

Abb. 2

y = 0,5·x+4 beschreibt eine Gerade. Der Faktor vor x (hier 0,5) wird Steigung m genannt. Das Glied ohne x ( hier  die Zahl 4) wird mit t bezeichnet. t ist der y-Wert bei x = 0 (Schnittpunkt mit der y-Achse !). Unter der Steigung einer Geraden verstehen wir das Verhältnis aus dem senkrechten Kathete und der waagrechten  Kathete eines der Geraden  zugeordneten Steigungsdreiecks. Wenn ein Punkt entlang der Geraden so verschoben wird, dass der x - Wert um  1  zunimmt, dann ändert sich der y-Wert dieses Punktes um m.

3. Gegeben ist die Funktion  y = 1/2· x².

Bestimme die Geradengleichung  der Tangente, die den zu    y =  ½ ·x²   gehörenden Grafen im Punkt P(4|8) berührt !

Bevor an die Lösung dieser Aufgabe  herangegangen  werden  kann, muss zunächst der Begriff „Tangente“ erläutert werden.

Nach Anklicken dieser Zeile wird die Entwicklung einer Geraden zu einer Tangente vorgeführt.

Wir sehen eine Gerade durch zwei Kurvenpunkte. Der obere Kurvenpunkt rückt schrittweise an den unteren. Die Gerade strebt mit  kleiner werdendem  Abstand der beiden Punkte in eine  Grenzlage. In dieser Grenzlage heißt sie Tangente (Berührungsgerade). Die gesuchte Tangente mit der Gleichung   y = m·x + t  ( m und t sind noch unbekannt ) hat mit dem Graphen  zu y = 1/2·x² nur einen Punkt gemeinsam.

→    ½ ·x²    =  m·x + t     hat nur eine Lösung.

½ ·x²   =  m·x + t     ↔    x² – 2·m·x – 2·t = 0

Da nur eine Lösung existiert, ist die Diskriminante D = 4 · m² + 8 ·t gleich 0.    →      8 ·t  =  - 4 · m²    →     t = -0,5 · m²

Für y = m·x + t  kann somit geschrieben werden:   y = m·x – 0,5 · m²

P(4;8) ist der Berührungspunkt.     →   8 = m·4-0,5 · m²   →   m = 4

y = m·x – 0,5 · m²   →     y = 4 ·x - 8

Abb. 3

4.  Gegeben ist die Gerade y = x  und  ein  Punkt  P(5|2) neben dieser Geraden.

Bestimme den Geradenpunkt P(x|y) mit dem geringsten Abstand  zu   P(5|2).

Abb. 4

Abb. 5

5.  Beweise:  Unter   allen   Rechtecken   mit 40 cm  Umfang hat das Quadrat den größten Flächeninhalt.

Abb. 6